Парные корреляции в скользящем двумерном окне

Расчет линейных и ранговых коэффициентов корреляции между двумя полями в скользящем окне позволяет не только оценить тесноту взаимосвязи между двумя полями, но и проследить ее изменение по территории изучаемого участка.

Рассчитать можно следующие коэффициенты корреляции между двумя характеристиками:

• парный
• ранговый по Спирмену
• ранговый по Кендаллу

Алгоритм

Статистическое окно перемещается по всем точкам исходной сети синхронно по двум обрабатываемым полям. Коэффициенты корреляции вычисляются при каждом положении статистического окна по значениям полей в узлах сети, попавшим в окно, и ставятся в соответствие центру окна. В окне могут быть пропуски (в том числе и в центре окна), главное, чтобы число пар пропусков не превышало 3/4 от числа точек в окне. При таком подходе пропуски в данных "заливаются" тем более, чем больше размеры окна.

Формула для расчета коэффициента парной корреляции следующая:

, где:

u_i, v_i - значения полей в точках сети;

u_s, v_s - средние;

σ_u, σ_v - среднеквадратические отклонения;

n - число точек в окне.

Вычисления коэффициентов ранговой корреляции по Спирмену и Кендаллу проводятся следующим образом. Пусть при определенном положении скользящего окна значения двух полей в узлах сети, попавших в это окно, представлены двумя выборками:

u₁, u₂,..., u_n; v₁, v₂ ,..., v_n.

Каждая выборка ранжируется по возрастанию числами от 1 до n, причем совпадающие значения ранжируются между собой произвольным образом, а затем получают один и тот же ранг, равный среднему арифметическому их первоначальных рангов.

Обозначим ранги первой выборки через i₁, i₂,..., i_n, а второй - через j₁, j₂,..., j_n.

Для определения коэффициента ранговой корреляции по Спирмену R вычисляется сумма квадратов ранговых разностей:

Кроме того, для каждой выборки определяется фактор корреляции ( T_u - для первой выборки и T_v - для второй) по формуле:

где суммирование проводится по совпадающим рангам и t_l обозначает число одинаковых значений для данного ранга.

Затем вычисляется коэффициент ранговой корреляции по Спирмену:

Для нахождения коэффициента ранговой корреляции по Кендаллу τ , также как и для нахождения R определяются факторы корреляции P_u и P_v с помощью формулы:

где t_l имеют тот же смысл что и выше.

Определяется так называемая сумма баллов S следующим образом. Сначала S полагается равным 0. Далее рассматривается порядок каждой возможной пары рангов в двух выборках. Если какая-либо пара расположена в двух выборках в одинаковом порядке, то к S добавляется балл, равный 1, если в противоположном порядке, то вычитается 1 из S . Перебрав все пары найдем S .

Формула для определения τ :

Параметры

Обрабатываемые поля не обязательно должны быть расположены в одной ТОС - важно лишь, чтобы сети (число профилей и пикетов, привязка, шаги по профилям и пикетам) совпадали.

Первое исходное поле (см. Рис. 1) определяется параметром Свойство (в текущей ТОС). Второе поле определяется двумя параметрами: Имя файла ТОС и Свойство . По умолчанию имя второй ТОС совпадает с именем текущей ТОС, однако его можно изменить.

Рис. 1. Выбор параметров для расчета парных корреляций

Вид и параметры статистического окна определяются на панели Параметры окна (см. Редкатор Окон 2D ).

Рассчитанные коэффициенты корреляции могут быть размещены либо в одной ТОС, либо в разных в зависимости от флажка в окне Все в одну ТОС на панели Результат расчета парных коэф. корреляции . По умолчанию используется имя текущей ТОС. При определении параметров размещения статистик для каждой из них необходимо определить Свойство и Имя файла ТОС.

В зависимости от особенностей решаемой задачи, пользователь может отказаться от расчета не нужных статистик - для этого достаточно снять отметку (флажок) о расчете соответствующего коэффициента корреляции, которая находится слева от его названия.

В результате выполнения процедуры в зависимости от заданного пользователем имени результирующей ТОС, создаются одна или несколько новых ТОС, либо дописываются новые свойства к уже существующим ТОС, в которых размещаются вычисленные коэффициенты корреляции. Созданная ТОС наследуют размеры и параметры сети исходных ТОС.